La banda o cinta de Moëbius es muy conocida y popular es una superficie reglada con una única cara y un único borde que además es no orientable.
Si cortamos una tira de papel y pegamos los extremos, se obtiene un cilindro, que, como es lo normal en cualquier superficie tiene dos caras la interior y la exterior y dos bordes, el de arriba y el abajo. Pero si se hace lo mismo, pero antes de pegar los extremos giramos uno de ellos 180º, el objeto que obtenemos es una banda de Möbius: es un objeto geométrico de dimensión dos, pero sorprendentemente, posee un único borde (el doble de largo, su longitud es la suma de las longitudes de las dos circunferencias que forman el borde del cilindro) y una única cara.
Es una superficie de una única cara pues si coloreamos (a vamos marcando con un rotular de color) la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por un punto determinado, al final queda coloreada (marcada) toda la cinta, por tanto, no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.
Es una superficie con un único borde ya que si seguimos el borde con un dedo, apreciamos que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.
Es una superficie no orientable pues si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Si desplazamos una transparencia con un dibujo de la mano derecha en sentido derecho por su superficie, al dar la vuelta completa nos encontraríamos con su imagen especular, la mano izquierda.
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También es conocido de todos Johann Sebastian Bach, compositor, organista, clavecinista, violinista, violista, maestro de capilla y cantor alemán de música del Barroco, el miembro más importante de una de las familias de músicos más destacadas de la historia, con más de 35 compositores famosos y muchos intérpretes destacados.
Pero, ¿qué relación existe entre Bach y Moëbius?. Curiosamente, sin saberlo ni pretenderlo, Bach se adelantó (111 años) a Moëbius. Bach en su Ofrenda Musical (1747) nos legó varios cánones entre los que se incluye el Canon Cangrejo.
El canon es una forma de composición musical de carácter polifónico basada en la imitación estricta entre dos o más voces separadas por un intervalo temporal. La primera voz interpreta una melodía y es seguida, a distancia de ciertos compases, por sucesivas voces que la repiten, en algunos casos transformadas en su tonalidad o en otros aspectos. A la primera voz se le llama propuesta o «antecedente», y a las voces que le siguen respuesta o «consecuente». Una misma música sirve a la vez como melodía y como acompañamiento y existenvarios tipos según el intervalo de las voces o según la transformación de éstas, a nosotros no interesa la modalidad (basada en la simetría) en que el acompañamiento y la melodía están invertidos. Es decir: la pieza suena igual si se toca desde delante hacia atrás que si se hace desde atrás hacia delante, como un palíndromo musical. O también: el acompañamiento es la propia melodía marcha atrás. Por razones obvias, se le llama canon cangrejo.
Jos Leys y Xantox han creado este precioso video en el que construyen una Banda de Moëbius con su partitura. El resultado es una pieza que enlaza consigo misma en un bucle interminable pero que además se superpone a sí misma en el doble recorrido. Hay por lo tanto una correspondencia musical y armoniosa entre la partitura del Canon del Cangrejo y la banda de Moëbius.
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